04. 음고류집합, 표준서열과 변환

Megan Lavengood · Brian Moseley

음고류집합

여러 음고류를 하나의 단위로 묶으면 음고류집합(pc set)이 됨. 어떤 음고류 묶음이든 음고류집합으로 삼을 수 있음.

표준서열

표준서열은 주어진 음고류집합을 오름차순으로 가장 조밀하게 배열한 것임. 3화음과 7화음을 기본위치로 배열하면 분류와 비교가 쉬워지듯, 표준서열도 음의 수와 음정 구성이 다양한 화음을 같은 방식으로 비교하게 해 줌.

표준서열을 찾는 수학적 방법과 시각적 방법을 차례로 살펴봄.

수학적 방법

절차	예: G♯ $_{4}$ , A $_{2}$ , D♯ $_{3}$ , A $_{4}$
1. 중복을 없애고, 한 옥타브 안에서 오름차순으로 놓일 수 있게 음고류를 배열함. 가능한 배열은 여러 개임.	8, 9, 3
2. 첫 음고류를 끝에 한 번 더 씀.	8, 9, 3, 8
3. 이웃한 음고류 사이의 서열음고류음정 가운데 가장 큰 것을 찾음.	8→9: 1 9→3: 6 3→8: 5 가장 큰 간격은 9→3임.
4. 가장 큰 간격의 오른쪽 음고류부터 다시 쓰고 대괄호로 묶음.	[3, 8, 9]

3단계에서 가장 큰 간격이 둘 이상이면 한쪽으로 더 조밀하게 몰린 배열을 고름. 그래도 같으면 아래쪽에 더 조밀하게 몰린 집합을 택함.

시각적 방법: 시계판

시계판을 이용하면 표준서열을 눈으로 빠르게 찾을 수 있음.

예 1. 시계판으로 표준서열을 찾는 방법.

이도

후기조성 음악에서 이도는 흔히 움직임으로 들림. 화음·동기·선율을 이도하면 그 대상을 어느 방향으로 옮긴 듯한 효과가 남. Debussy의 《La cathédrale engloutie》에서 첫 동기 [D, E, B], 곧 [2, 4, 11]은 18마디에서 반음 4개 위인 [F♯, G♯, D♯], 곧 [6, 8, 3]으로 옮겨짐. 예 2의 파란 부분에서 성당이 물 위로 천천히 떠오르는 모습을 나타냄. 시작 음고는 달라도 같은 서열음정 배열이 돌아오므로 두 대목의 관계를 들을 수 있음. 이도는 음정 내용뿐 아니라 음정의 구체적인 배열까지 보존함.

예 2. 서열집합과 비서열집합에서 나타나는 동기의 이도.

18마디에서 19마디로 갈 때도 같은 동기가 더 흐릿하게 보존됨. 이때는 비서열음고류집합만 이도되고 앞의 서열집합은 유지되지 않음. 겉으로는 덜 닮았지만 두 집합을 표준서열로 놓으면 이도 관계가 분명해짐.

이도는 $T_n$ 으로 줄여 씀. 변환의 지표인 $n$ 은 두 집합 사이의 서열음고류음정을 나타냄. 음고·음고류·음집합에 실제로 가하는 연산을 가리킬 수도 있고, 두 대상 사이 거리를 재는 값으로 쓸 수도 있음.

집합 이도하기

$T_n$ 으로 집합을 이도하려면 모든 정수에 $n$ 을 더함. 계산은 mod 12로 하므로 12를 넘으면 시계판처럼 0으로 돌아감.

위 1마디의 집합 [11, 2, 4]를 $T_4$ 로 이도하면 다음과 같음.

\begin{aligned} [11,2,4] + [4,4,4] &= [3,6,8] \end{aligned}

결과는 18마디의 음고류임. $T_4[11,2,4]=[3,6,8]$

이도 관계와 지표 찾기

두 집합의 이도 관계를 찾을 때는 두 집합을 표준서열로 놓고 둘째 집합에서 첫째 집합을 뺌. 모든 차가 같으면 두 집합은 그 값의 $T_n$ 관계임.

\begin{aligned} [3,6,8]-[11,2,4] &= [4,4,4] \end{aligned}

따라서 [3, 6, 8]과 [11, 2, 4]는 $T_4$ 관계임.

전회

전회도 닮은 대상을 움직여 잇는다는 점에서는 이도와 비슷함. Chen Yi의 《Duo Ye》(2000)에 나오는 두 몸짓은 같은 음정 내용을 가져 귀에 비슷하게 들림. 그러나 이도와 달리 배열은 같지 않음. [2, 4, 7]과 [1, 4, 6]은 같은 음정을 포함하지만, [1, 4, 6]에서는 음정 3이 위가 아니라 아래에 놓임.

예 3. [2, 4, 7]을 전회하면 [1, 4, 6]이 됨.

일반 전회

지표 없이 집합을 전회하라고 하면 mod 12에서 각 수의 여수를 구함. 정수 $x$ 의 여수 $y$ 는 $x+y=12$ 를 만족하는 수임. 4의 여수는 8, 6의 여수는 6임. 0의 여수는 0이며, mod 12에서는 0이 12와 같음.

[2, 4, 7]을 전회하면 [5, 8, 10]이 됨.

$I_n$ : 전회 뒤 이도하는 방법

집합을 먼저 전회한 뒤 이도할 때는 $I_n$ 으로 줄여 씀. 예 3의 [2, 4, 7]은 $I_8$ 을 거쳐 [1, 4, 6]이 됨.

전회: [2, 4, 7] → [5, 8, 10]
이도: [5, 8, 10]의 모든 수에 8을 더하면 [1, 4, 6]

$I_n$ : 뺄셈 방법

$I_n$ 으로 생길 집합은 $n$ 에서 첫 집합의 모든 음고류를 빼서 바로 구할 수도 있음.

$I_8$ 을 [2, 4, 7]에 적용하면?

[8,8,8]-[2,4,7]=[6,4,1]

표준서열로 놓으면 $I_8[2,4,7]=[1,4,6]$ 임.

전회 관계와 지표 찾기

전회 관계에 있는 두 음고를 더하면 지표가 나옴. 전회 뒤의 음고 $y$ 가 $n-x$ 라면 $n=x+y$ 이기 때문임.

시계판에서도 같은 관계를 볼 수 있음. 두 집합이 모두 표준서열이고 전회 관계라면 각 음은 거울처럼 역순으로 대응함. 두 표준서열을 위아래에 놓고 서로 마주 보는 정수를 더하면 모든 합이 같은 지표가 됨. 합이 12 이상이면 12를 빼 mod 12의 $n$ 으로 바꿈.